مفهوم کلی: قضیه حد مرکزی
کل ایده این بخش این است که گاهی تولید دقیق اعداد تصادفی (مثلاً برای توزیع نرمال یا پواسون) سخت یا زمانبر است. در عوض، ما از قوانین ریاضی مانند قضیه حد مرکزی (CLT) استفاده میکنیم تا با روشی سادهتر و سریعتر، اعدادی تولید کنیم که تقریباً همان توزیع را دارند.
اگر تعداد زیادی نمونه تصادفی (\(n\) بزرگ) از هر توزیعی داشته باشیم، میانگین (یا مجموع) آنها شبیه به توزیع نرمال رفتار میکند.
فرمول پایه و شبیهسازی نرمال استاندارد
اگر \(X_1, ..., X_n\) متغیرهای تصادفی با میانگین \(\mu\) و واریانس \(\sigma^2\) باشند، برای \(n\) بزرگ داریم:
\[Z = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \approx N(0,1)\]
تکنیک طلایی (\(n=12\)): برای تولید توزیع نرمال استاندارد (\(Z\))، سادهترین راه استفاده از ۱۲ عدد تصادفی یکنواخت \(U(0,1)\) است. چرا ۱۲؟ چون واریانس توزیع یکنواخت برابر \(\frac{1}{12}\) است و محاسبات بسیار ساده میشود:
\[Z = \sum_{i=1}^{12} U_i - 6 \approx N(0,1)\]
شبیهسازی توزیع پواسون (\(P(\lambda)\))
برای تولید عدد تصادفی پواسون، از تقریب دوجملهای به نرمال یا پواسون استفاده میکنیم. اگر در توزیع دوجملهای \(B(n,p)\)، مقدار \(n\) بزرگ و \(p\) کوچک باشد، توزیع شبیه پواسون با \(\lambda = np\) میشود.
الگوریتم: ۱. محاسبه مقدار \(n\): فرمول \(n = \max(30, \lceil 20\lambda \rceil)\). ۲. تولید \(n\) عدد تصادفی یکنواخت. ۳. شمارش اعدادی که کمتر یا مساوی \(p=0.05\) هستند.
فرمول ریاضی شمارش: \[x = \sum_{i=1}^{n} I(u_i \le 0.05)\]